lunes, 12 de octubre de 2009

Sistemas de Ecuaciones Lineales


RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Regla de Cramer
Licenciada Ana González.

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema.

Descripción del método
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, . . . , xn, puede escribirse
matricialmente en la forma

A11 A12 … A1N X1 B1
A21 A22 … A2N X2 B2
. . . . = .
. . . . .
AM1 AM2... AMN XN BM


o de forma abreviada
Ax = b.

donde:

• A es la matriz de coeficientes.
• x es un vector columna de incógnitas.
• b es un vector columna de términos independientes.

El sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese
caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si tiene solución única.

Un sistema de Cramer es compatible determinado si y sólo si
Δ = detA 6= 0.


Dado el sistema:

2x1 + 3x2 + x3 = 3,
x1 − x2 + x3 = 5,
x2 + x3 = −2.

La expresión matricial es:
2 3 1 x1 3
1 −1 1 x2 = 5
0 1 1 x3 -2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor

2 3 1
∆= 1 −1 1 = - 6
0 1 1



por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Calculamos


3 3 1
∆= 5 −1 1 = -24
−2 1 1


2 3 1
∆= 1 5 1 = 9
0 −2 1


2 3 3
∆= 1 −1 5 = 3
0 1 −2


De donde obtenemos la solución del sistema
x1 = 4,

x2 = −3
2

x3 = −1
2
Resuelve el sistema usando la regla de Cramer
1.-
x1 + 3x2 − x3 = 3
x1 + x2 + x3 = 15
x1 + 2x2 + x3 = 2
2.-
3X - 2Y - 4Z = -8
4X + 3Y - 5Z = -5
6X - 5Y + 2Z = -17
3.-
2a + 4b + 3c = 6
a - 3b + 2c 0 -7
-a + 2b - c = 5

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