viernes, 15 de enero de 2010

Transformaciones Lineales


DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).


• Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.


• Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

GUÍA DE EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMACIONES LINEALES

1.- Determine la matriz estándar para la transformación lineal T: R3→R3 definida por:
W1 = 3X1 + 5X2 – X3
W2 = 4X1 – X2 + X3
W3 = 3X1 + 2X2 – X3

Y calcular T (-1,2,4) sustituyendo directamente en las ecuaciones y multiplicación matricial.


2.- Encontrar la matriz estándar para la transformación lineal T definida por la formula
T(X1, X2, X3, X4) = (7X1 + 2X2 – X3 + X4 ; X2 + X3 ; -X1 )


3.- Usar la multiplicación matricial para encontrar la reflexión (2, -5, 3) respecto al plano XY, plano YZ y al plano XZ.


4.- Por medio de la multiplicación matricial halla la imagen del vector (-2, 1, 2), sí este, se hace girar 30® en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje X.

sábado, 7 de noviembre de 2009


Licenciada Ana González

Espacio vectorial




































Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse.







Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.






En R2

El plano R2, consistente en los pares (x, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).



Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).






DEFINICIÓN FORMAL

La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:




  • SUMA DE VECTORES: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w




  • PRODUCTO POR UN ESCALAR: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av
    PROPIEDADES DEL ESPACIO VECTORIAL.

    Propiedad y Significado

Unicidad del vector nulo






Unicidad del opuesto de un vector






Producto por el escalar cero 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple




esta propiedad.




Producto de un escalar por el vector nulo a 0 = 0






Opuesto del producto de un vector por






un escalar - (a v) = (-a) v = a (-v)


















El volumen de este paralelepípedo es el valor absoluto del determinante de la matriz 3-por-3 formada por los vectores r1, r2, y r3.


SUBESPACIOS VECTORIALES

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.




S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.






CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE SUBESPACIO




El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.




Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:






1. S no es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluido en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.




Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.






Combinación lineal

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.




En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector en cuestión.






Sistema generador





En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema de generador s al conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo.
No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.
Generalmente se emplea la siguiente notación:
Donde V es el espacio vectorial generado por el sistema S, el cual está compuesto por n vectores, siendo n menor o igual a la dimensión del espacio V.




viernes, 16 de octubre de 2009



ACTIVIDAD SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES







1.- Re solver los siguientes sistemas utilizando el método que usted desee.




a.- x/5 - y/2 = 1,3



x - y = 1






b.- 3.x - y = -1/24.


x/5 + 3.y = 6,4






c.- 2.x - y/2 = -9,5


x/5 + y = -4






d.- 3.x + 2.y + z = 1


5x + 3y + 4z = 2

x + y - z = 1









e.- 5x - 3y - z = 1


x + 4y - 6z = -1



2x + 3y + 4z = 9








2.- Arme la matriz A y B con los siguientes elementos:




a11= 2, a12= 0, a13= 1, a21= 3, a22= 0, a23= 0, a31= 5, a32= 1, a33= 1




b11= 1, b12= 0, b13= 1, b21= 1, b22= 2, b23= 1, b31= 1, b32= 1, b33=0


Calcular:
A + B; A - B; A x B; B x A

lunes, 12 de octubre de 2009

Matrices y Determinantes

MATRICES

Licenciada Ana González


Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) .

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.


ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.


Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.


Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:


Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " iSarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), con
Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación).

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: A = a11 por lo que detA = a 11.
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)

  • Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
    det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
  • Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
    det (A·B) = det (A) · det (B)
  • Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
    det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)
  • Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
    det (0, L2, L3...) = 0
  • Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
    det (L1, L1, L3...) = 0
  • Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.
    det (L1, k·L1, L3...) = 0
  • Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
    det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
  • Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
    det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)
  • Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
    det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0

Actividades para Resolver

Con la explicación impartida en clases y el apoyo aquí presentado podrás resolver los siguientes ejercicios:

1.- Escriba cada sistema como ecuacion matricial y resolver:

  • x + 2y = k

x + 3y = Q

  • x - 3y = k

2x + 7y = Q

2.- Escriba como sistema como ecuacion matricial matricial y resolver mediante la inversa.

  • x + y = K

3Y - Z = Q

x + Z = P



Sistemas de Ecuaciones Lineales


RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Regla de Cramer
Licenciada Ana González.

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema.

Descripción del método
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, . . . , xn, puede escribirse
matricialmente en la forma

A11 A12 … A1N X1 B1
A21 A22 … A2N X2 B2
. . . . = .
. . . . .
AM1 AM2... AMN XN BM


o de forma abreviada
Ax = b.

donde:

• A es la matriz de coeficientes.
• x es un vector columna de incógnitas.
• b es un vector columna de términos independientes.

El sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese
caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si tiene solución única.

Un sistema de Cramer es compatible determinado si y sólo si
Δ = detA 6= 0.


Dado el sistema:

2x1 + 3x2 + x3 = 3,
x1 − x2 + x3 = 5,
x2 + x3 = −2.

La expresión matricial es:
2 3 1 x1 3
1 −1 1 x2 = 5
0 1 1 x3 -2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor

2 3 1
∆= 1 −1 1 = - 6
0 1 1



por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Calculamos


3 3 1
∆= 5 −1 1 = -24
−2 1 1


2 3 1
∆= 1 5 1 = 9
0 −2 1


2 3 3
∆= 1 −1 5 = 3
0 1 −2


De donde obtenemos la solución del sistema
x1 = 4,

x2 = −3
2

x3 = −1
2
Resuelve el sistema usando la regla de Cramer
1.-
x1 + 3x2 − x3 = 3
x1 + x2 + x3 = 15
x1 + 2x2 + x3 = 2
2.-
3X - 2Y - 4Z = -8
4X + 3Y - 5Z = -5
6X - 5Y + 2Z = -17
3.-
2a + 4b + 3c = 6
a - 3b + 2c 0 -7
-a + 2b - c = 5