MATRICES
Licenciada Ana González
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) .
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i
Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), con
Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación).
Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: A = a11 por lo que detA = a 11.
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
- Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...) - Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
det (A·B) = det (A) · det (B) - Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...) - Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
det (0, L2, L3...) = 0 - Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
det (L1, L1, L3...) = 0 - Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.
det (L1, k·L1, L3...) = 0 - Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0 - Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) - Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0
Actividades para Resolver
Con la explicación impartida en clases y el apoyo aquí presentado podrás resolver los siguientes ejercicios:
1.- Escriba cada sistema como ecuacion matricial y resolver:
x + 3y = Q
2x + 7y = Q
2.- Escriba como sistema como ecuacion matricial matricial y resolver mediante la inversa.
3Y - Z = Q
x + Z = P