viernes, 16 de octubre de 2009



ACTIVIDAD SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES







1.- Re solver los siguientes sistemas utilizando el método que usted desee.




a.- x/5 - y/2 = 1,3



x - y = 1






b.- 3.x - y = -1/24.


x/5 + 3.y = 6,4






c.- 2.x - y/2 = -9,5


x/5 + y = -4






d.- 3.x + 2.y + z = 1


5x + 3y + 4z = 2

x + y - z = 1









e.- 5x - 3y - z = 1


x + 4y - 6z = -1



2x + 3y + 4z = 9








2.- Arme la matriz A y B con los siguientes elementos:




a11= 2, a12= 0, a13= 1, a21= 3, a22= 0, a23= 0, a31= 5, a32= 1, a33= 1




b11= 1, b12= 0, b13= 1, b21= 1, b22= 2, b23= 1, b31= 1, b32= 1, b33=0


Calcular:
A + B; A - B; A x B; B x A

lunes, 12 de octubre de 2009

Matrices y Determinantes

MATRICES

Licenciada Ana González


Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) .

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.


ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.


Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.


Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:


Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " iSarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

DETERMINANTES

Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), con
Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación).

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: A = a11 por lo que detA = a 11.
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.

det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)

  • Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
    det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
  • Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
    det (A·B) = det (A) · det (B)
  • Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
    det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)
  • Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
    det (0, L2, L3...) = 0
  • Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
    det (L1, L1, L3...) = 0
  • Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.
    det (L1, k·L1, L3...) = 0
  • Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
    det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
  • Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
    det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)
  • Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
    det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0

Actividades para Resolver

Con la explicación impartida en clases y el apoyo aquí presentado podrás resolver los siguientes ejercicios:

1.- Escriba cada sistema como ecuacion matricial y resolver:

  • x + 2y = k

x + 3y = Q

  • x - 3y = k

2x + 7y = Q

2.- Escriba como sistema como ecuacion matricial matricial y resolver mediante la inversa.

  • x + y = K

3Y - Z = Q

x + Z = P



Sistemas de Ecuaciones Lineales


RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Regla de Cramer
Licenciada Ana González.

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema.

Descripción del método
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, . . . , xn, puede escribirse
matricialmente en la forma

A11 A12 … A1N X1 B1
A21 A22 … A2N X2 B2
. . . . = .
. . . . .
AM1 AM2... AMN XN BM


o de forma abreviada
Ax = b.

donde:

• A es la matriz de coeficientes.
• x es un vector columna de incógnitas.
• b es un vector columna de términos independientes.

El sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese
caso la matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si tiene solución única.

Un sistema de Cramer es compatible determinado si y sólo si
Δ = detA 6= 0.


Dado el sistema:

2x1 + 3x2 + x3 = 3,
x1 − x2 + x3 = 5,
x2 + x3 = −2.

La expresión matricial es:
2 3 1 x1 3
1 −1 1 x2 = 5
0 1 1 x3 -2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor

2 3 1
∆= 1 −1 1 = - 6
0 1 1



por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Calculamos


3 3 1
∆= 5 −1 1 = -24
−2 1 1


2 3 1
∆= 1 5 1 = 9
0 −2 1


2 3 3
∆= 1 −1 5 = 3
0 1 −2


De donde obtenemos la solución del sistema
x1 = 4,

x2 = −3
2

x3 = −1
2
Resuelve el sistema usando la regla de Cramer
1.-
x1 + 3x2 − x3 = 3
x1 + x2 + x3 = 15
x1 + 2x2 + x3 = 2
2.-
3X - 2Y - 4Z = -8
4X + 3Y - 5Z = -5
6X - 5Y + 2Z = -17
3.-
2a + 4b + 3c = 6
a - 3b + 2c 0 -7
-a + 2b - c = 5