viernes, 15 de enero de 2010

Transformaciones Lineales


DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝,

1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Tres notas sobre notación.

1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).


• Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.


• Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

GUÍA DE EJERCICIOS SOBRE TRANSFORMACIONES LINEALES

1.- Determine la matriz estándar para la transformación lineal T: R3→R3 definida por:
W1 = 3X1 + 5X2 – X3
W2 = 4X1 – X2 + X3
W3 = 3X1 + 2X2 – X3

Y calcular T (-1,2,4) sustituyendo directamente en las ecuaciones y multiplicación matricial.


2.- Encontrar la matriz estándar para la transformación lineal T definida por la formula
T(X1, X2, X3, X4) = (7X1 + 2X2 – X3 + X4 ; X2 + X3 ; -X1 )


3.- Usar la multiplicación matricial para encontrar la reflexión (2, -5, 3) respecto al plano XY, plano YZ y al plano XZ.


4.- Por medio de la multiplicación matricial halla la imagen del vector (-2, 1, 2), sí este, se hace girar 30® en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje X.

2 comentarios:

  1. listo profe ya esta para entregarlo
    francisco sanchez
    c.i:18.346.522
    petroquimica

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    1. disculpa mepodrias decir como isiste ese problema esque yo ando buscando y no encuentro nada porfa :) martin_more16@hotmail.com

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