Licenciada Ana González

Espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse.







Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.






En R2

El plano R2, consistente en los pares (x, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).



Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).






DEFINICIÓN FORMAL

La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:

• SUMA DE VECTORES: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w





• PRODUCTO POR UN ESCALAR: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av
  PROPIEDADES DEL ESPACIO VECTORIAL.
  
  Propiedad y Significado
  

Unicidad del vector nulo

Unicidad del opuesto de un vector

Producto por el escalar cero 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple

esta propiedad.

Producto de un escalar por el vector nulo a 0 = 0

Opuesto del producto de un vector por

un escalar - (a v) = (-a) v = a (-v)

El volumen de este paralelepípedo es el valor absoluto del determinante de la matriz 3-por-3 formada por los vectores r1, r2, y r3.


SUBESPACIOS VECTORIALES

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.

CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE SUBESPACIO

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluido en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.

Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Combinación lineal

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector en cuestión.

Sistema generador

En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema de generador s al conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo.
No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.
Generalmente se emplea la siguiente notación:
Donde V es el espacio vectorial generado por el sistema S, el cual está compuesto por n vectores, siendo n menor o igual a la dimensión del espacio V.